TEORI ESTMASI - STATISTIK 2

TUGAS INDIVIDU

TEORI ESTIMASI

 (Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistik II. )

Dosen Pembimbing   : MOH. IMRAN S.SI, MT

Disusun Oleh :

EKO HIDAYAT

2013122590

FAKULTAS EKONOMI

PROGRAM STUDI AKUNTANSI STRATA-1

UNIVERSITAS PAMULANG

2015

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan nikmat serta hidayah-Nya terutama nikmat kesempatan dan kesehatan sehingga Penyusun dapat menyelesaikan tugas mandiri tepat pada waktunya. Kemudian shalawat beserta salam kita sampaikan kepada Nabi besar kita Muhammad SAW yang telah memberikan pedoman hidup yakni Al-Qur’an dan Sunnah untuk keselamatan umat di dunia. Penyusun akhirnya dapat menyelesaikan makalah  yang berjudul :

“TEORI ESTIMASI”.

Tujuan tugas mandiri ini diajukan untuk memenuhi tugas mata kulaih Statistik II di Program Studi Akuntansi Strata Satu Fakultas Ekonomi pada Universitas Pamulang.

Penyusun menghadapi banyak hambatan dalam menyelesaikan tugas kelompok ini, tapi dengan semangat dan keingininan yang kuat serta mendapatkan bimbingan dari berbagai pihak sehingga Penyusun dapat menyelesaikan tugas mandiri ini dengan baik. Oleh karena itu Penyusun mengucapkan terimakasih kepada :

§  Bapak Moh. Imran S.Si, MT selaku Dosen Mata Kuliah Statistik II,

§  Orang tua yang selalu memberikan do’a dan motivasi,

§  Teman-teman seperjuangan kelas 04SAKEL yang sedang menyelesaikan tugas bersama,

§  Segenap pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.

Penyusun menyimpulkan bahwa masih terdapat kekurangan dalam Penyusunan tugas mandiri ini, maka dari itu Penyusun mengharapkan kritik dan saran yang konstruktif dari Pembaca guna kesempurnaan tugas mandiri ini. Semoga tugas mandiri ini bermanfaat bagi Penyusun dan Pembaca pada umumnya.

Pamulang,    April 2015

Penyusun

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL	………………………………………………	i
KATA PENGANTAR	………………………………………………	ii
DAFTAR ISI	………………………………………………	iii
BAB I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah	………………………………………………	1
1.2. Tujuan Penulisan	………………………………………………	3
1.3. Rumusan Masalah	………………………………………………	3
1.4. Sistematika Penulisan	………………………………………………	3
BAB II. PEMBAHASAN
2.1. Penaksiran	………………………………………………	5
2.2. Menaksir Rata-rata	………………………………………………	5
2.3. Menaksir Selisih Rata-rata	………………………………………………	7
2.4. Menaksir Proporsi	………………………………………………	8
2.5. Menaksir Selisih Proporsi	……………………………………………	9
2.5. menentukan Sample	……………………………………………	10
BAB III. PENUTUP
3.1. Kesimpulan	………………………………………………	12
3.2. Saran	………………………………………………	12

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Penggunaan statistik sudah dikenal sebelum abad 18, pada saat itu Negara-negara babilon, Mesir dan Roma mengeluarkan catatan tentang nama, usia, jenis kelamin, pekerjaan dan jumlah anggota keluarga. Kemudian pada tahun 1500, pemerintah Inggris mengeluarkan catatan mingguan tentang kematian. Baru pada tahun 1772-1791, G.Achenwall menggunakan istilah statistika sebagai kumpulan data tentang negara. Tahun 1791-1799, DR.E.A.W Zimmesman emngenalkan kata statistika dalam bukunya Statistical Account of Scotland. Pada tahun 1918-1935, R. Fisher mengenalkan analisa varians dalam literature statistiknya.
Hampir dalam tiap bidang baik pemerintahan, pendidikan, perekonomian, perindustrian, atau lainnya akan menghadapi persoalan yang diantaranya dinyatakan dengan angka-angka. Kumpulan angka-angka ini biasanya disusun dalam tabel atau daftar disertai diagram atau grafik. Kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah yang dapat memberi gambaran mengenai masalah tersebut dinamakan statistik, seperti statistik penduduk, statistik kelahiran, statistik pendidikan dan lain-lain. Statistik juga diartikan sebagai ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu.

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan bahan-bahan atau keterangan, pengolahan serta penganalisisan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang beralasan berdasarkan penganalisisan yang dilakukan. Bagian statistika yang berhubungan dengan pembuatan kesimpulan mengenai populasi dinamakan statistika induktif, sedang bagian yang lainnya dinamakan statistika deskriptif.
Menurut sifatnya data dibedakan menjadi :

1)      Data Kualitatif : data yang berbentuk kategori atau atribut.

2)      Data Kuantitatif : data yang berbentuk bilangan, data ini dibagi lagi menjadi dua yaitu data diskrit yang merupakan data hasil membilang dan data kontinu yang merupakan data hasil mengukur.

Populasi sering diartikan kesatuan persoalan secara menyeluruh yang sudah ditentukan batasnya secara. Sedangkan sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi yang dianggap mewakili populasi atau karakteristiknya dianggap mewakili populasi. Cara pengambilan sampel dari populasi dilakukan dengan teknik-teknik sampling yang sah. Melalui sampel yang diambil dari populasi kita berusaha membuat kesimpulan tentang populasi yang bersangkutan. Caranya adalah dengan melakukan percobaan atau penelitian terhadap sampel sehingga diperoleh rata-rata sampel (besaran statistik) lalu dari rata-rata sampel kita tarik kesimpulan tentang rata-rata populasi (besaran parameter). Kesimpulan demikian mungkin dapat membentuk pendugaan satu atau beberapa parameter atau mungkin juga berhubungan dengan persoalan menerima atau menolak suatu hipotesis.

Cara pengambilan kesimpulan yang dibahas pada bagian ini adalah cara-cara menaksir harga parameter, yaitu rata-rata dan proporsi (persen).

Penaksiran parameter dapat dinyatakan dalam 2 cara:

1)      Penaksiran Titik

Suatu nilai tunggal yang digunakan untuk menyatakan taksiran parameter

Contoh: penaksiran upah rata-rata perjam pada sebuah perusahaan adalah Rp. 15.000,-

2)      Penaksiran Interval

Suatu daerah tertentu dimana bisa diharapkan taksiran parameter itu berada

Contoh: penaksiran upah rata-rata perjam pada sebuah perusahaan adalah Rp. 10.000,- sampai Rp. 20.000,-

Makin besar selang interval taksiran, maka derajat kepercayaan yang diperoleh makin tinggi akan tetapi hasilnya kurang bisa menduga nilai yang sebenarnya. Dalam prakteknya, harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat kepercayaan yang tinggi. Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisien kepercayaan dan merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.

Koefisien kepercayaan dinyatakan dengan g (gamma) dan dinyatakan dalam bentuk :

                  0  <  g  <  1

Misalnya kita menduga bahwa tinggi rata-rata mahasiswa di Indonesia adalah antara 150 cm dan 175 cm dengan derajat kepercayaan 0,95. Artinya kita yakin sebesar 95 % bahwa tinggi rata-rata mahasiswa di Indonesia adalah 150  sampai 175 cm dengan tingkat kesalahan 5 %.

1.2.Tujuan dan Kegunaan Penelitian

1.2.1.                 Tujuan Penelitian

a)    Agar kita sebagai Mahasiswa dapat mengaplikasikan kegunaan Teori Estimasi dalam pengolahan data

b)   Untuk mengalanisis Pemilihan Metode Akuntansi Persediaan Berpengarauh Terhadap Laporan keuangan

1.2.2.                Kegunaan Penelitian

a)       Kegunaan Penelitian Bagi Penulis

§  Untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistik II.

§  Untuk menambah pengetahuan dan meningkatkan kemampuan dalam bidang Statistik.

§   Untuk membandingkan teori yang pernah Penulis dapatkan selama perkuliahan dengan kondisi sesungguhnya yang ada di lapangan.

b)      Kegunaan Penelitian Bagi Perguruan Tinggi Universitas Pamulang

§   Sebagai masukan yang bermanfaat bagi semua civitas akademik, khusunya rekan mahasiswa dalam meningkatkan pembendaharaan ilmu pengethuan yang berkaitan dengan Teori Estimasi.

§   Untuk memperluas wawasan berfikir dalam mengenbangkan ilmu pengetahuan, dengan data yang diperoleh Penulis.

1.3. Rumusan Masalah

1.3.1.      Bagaimanakah cara menaksir selisih rata-rata?

1.3.2.     Bagaimanakah cara menaksir selisih proporsi ?

1.3.3.     Bagaimanakah menaksir ukuran sample ?

1.4. Sistematika penulisan

Dalam penyusunan proposal penelitan ini terdiri dari hal – hal yang saling berkaitan antara BAB I sampai dengan BAB  III yang memuat beberapa isi sebagai berikut:

BAB I   Pendahuluan

Membahas tentang latar belakang masalah, Rumusan masalah, tujuan penulisan dan sistematika penulisan

BAB II  Pembahasan

Membahas tentang penaksiran selisih rata-rata, penaksiran selisih proporsi, dan menaksir ukuran sample.

BAB III   Kesimpulan dan Saran

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.  Penaksiran.

Parameter populasi diberi simbol q (theta). q bisa merupakan rata-rata m, simpangan baku s, proporsi p dan lain-lain. Penaksir harga q dilambangkan dengan  (theta topi). Hal yang sangan diinginkan adalah nilai penaksir sama dengan nilai yang ditaksir atau  = q. Kenyataan yang bisa terjadi adalah:

a.       Menaksir q oleh  terlalu tinggi

b.      Menaksir q oleh  terlalu rendah

Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik:

a.       Penaksir tak biasa

Jika rata-rata semua harga  yang mungkin sama dengan q

                  e ()  =  q

b.      Penaksir bervarians minimum

Penaksir dengan varians terkecil dari semua penaksir untuk parameter yang sama

c.        Penaksir Konsisten

Jika ukuran sampel makin besar dan mendekati ukuran populasi, maka  mendekati q.  disebut penaksir konsisten

d.      Penaksir terbaik adalah penaksir yang tak bias dan bervarians minimum

2.2. Menaksir Rata-rata

Misalkan kita punya populasi berukuran N dengan rata-rata m dan simpangan baku s. Dari populasi ini parameter rata-rata m akan ditaksir. Untuk itu diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu dihitung nilai statistik yang perlu, yaitu  dan s. Dari  bisa ditaksir rata-rata m.

a.       Simpangan baku diketahui dan populasi berdistribusi normal

2. Simpangan baku s tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal
3. Simpangan baku s tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi normal

Untuk itu digunakan rumus:

             -  t_p .    <    m      <     +  t_p .

                batas bawah               batas atas

dengan g = koefisien kepercayaan, t_p = nilai t didapat dari daftar distribusi student dengan

p = 1/2 (1 + g) dan dk = (n – 1)

Contoh:

Sebuah sampel acak terdiri dari 100 mahasiswa telah diambil dari Universitas Pamulang lalu nilai IQ-nya dicatat, didapat  = 112   dan   s  =  10

a)      IQ rata-rata mahasiswa Universitas Mercu Buana = 112 (titik taksiran)

b)      Kita ingin mengetahui interval taksiran IQ rata-rata dengan koefisien kepercayaan 0,95. Untuk p = 0,975 dan dk = 99 dengan interpolasi dari daftar didapat t_p = 1,987, maka:

            112 -  1,987 .    <    m      <    112  +   1,987 .

       atau  110,0   <   m    <    114,0

       Dikatakan: kita yakin sebesar 95 % bahwa IQ rata-rata mahasiswa antara 110,0 – 114,0

Makin besar koefisien kepercayaan makin lebar jarak interval kepercayaan dan sebaliknya.

2.3. Menaksir Selisih Rata-rata

Misalkan kita punya dua populasi yang keduanya berdistribusi normal

Populasi	N1	N2
Rata-rata dan simpangan baku	m1    s1	m2    s2
Sampel	n1	n2
Rata-rata dan simpangan baku	1    s1	2   s2

Akan ditaksir selisih rata-rata dari kedua populasi (m₁  -  m₂)

Ada beberapa kemungkinan yang mungkin bisa terjadi, yaitu :

a. s₁  =  s₂ = s  dan harganya diketahui              b. s₁  =  s₂ = s  dan harganya tak diketahui

c. s₁  ¹  s₂                                                             d. Observasi berpasangan

Dalam hal s₁  =  s₂ = s  dan harganya tak diketahui, pertama-tama dari sampel-sampel ditentukan varians gabungannya melalui:

     

Interval kepercayaannya (m₁  -  m₂) ditentukan dengan:

dengan t_p diperoleh dari daftar,  p = ½ (1 + g) dan dk = (n₁ + n₂ – 2)

Contoh:

Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan 50 kali yang menghasilkan ₁ = 60,2 dan  = 24,7. Cara II dilakukan 60 kali dengan ₂ = 70,4 dan  = 37,2.. Tentukan interval kepercayaan 95 % mengenai perbedaan rata-rata pengukuran tersebut.

Jika dianggap hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal, maka varians gabungan:

  =  31,53             =  = 1,08

dengan p = 0,975 dan dk = 108, didapat t =1,984

      (70,4 – 60,2) – (1,984) (1,08)  < m₁  -  m₂   <  (70,4 – 60,2)  +  (1,984) (1,08)

                                          8,06      < m₁  -  m₂   <   12,34

95 % percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran kedua cara itu ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.

2.4. Menaksir Proporsi.

Pada populasi berukuran N terdapat proporsi p untuk peristiwa A. Ambil sampel acak berukuran n dan terdapat x peristiwa A sehingga proporsi sampel untuk peristiwa A = x/n. Jadi titik taksiran untuk p adalah x/n.

Untuk menentukan interval kepercayaan p, dapat digunakan rumus:

      p -     <    p      <    p  +    

dengan p = x/n dan q = 1 – p sedangkan  adalah bilangan z yang didapat dari daftar normal baku untuk peluang

Contoh:

Kita ingin menaksir ada berapa persen anggota masyarakat yang berumur di atas 15 tahun yang termasuk golongan kaya raya. Untuk ini sebuah sampel acak berukuran n = 1200 diambil yang menghasilkan 504 golongan kaya raya.

Persentase golongan kaya raya dalam sampel =  x  100 %   =    42 %

Titik taksiran adalah 42 %.

dengan p = 0,42   q = 0,58  dan z_0,475 = 1,96, maka:

      0,42 – 1,96     <   p    <    0,42  +  1,96 

      atau:    0,39  <  p  <  0,45

Kita yakin sebesar 95 % bahwa persentase anggota masyarakat yang kaya raya akan ada dalam interval 39 %  dan  45 %.

2.5. Menaksir Selisih Proporsi

Misalkan kita punya dua populasi binom

Populasi	N1	N2
Parameter untuk peristiwa	p1	p2
Sampel	n1	n2
Proporsi untuk peristiwa	p1 =	p2 =

Akan ditentukan interval taksiran untuk (p₁  -  p₂). Untuk ini digunakan pendekatan distribusi normal asalkan n₁ dan n₂ cukup besar.

(p₁ - p₂) -   <  p₁ - p₂  <   (p₁ - p₂) +

dengan q₁ = 1 – p₁ ,  q₂ = 1 – p₂ dan  didapat dari daftar normal baku dengan peluang .

Contoh:

2 sampel acak yang satu terdiri dari 500 pemudi dan satu lagi 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran telah diambil. Ternyata bahwa 325 pemudi dan 400 pemuda menyenangi pameran itu. Tentukanlah interval kepercayaan 95 % untuk perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyenanginya.

Persentase pemudi yang menyenangi pameran = p₁ =  x 100 %  =  65 %

Persentase pemuda yang menyenangi pameran = p₂ =  x 100 %  =  57 %

q₁ = 35 %  dan  q₂ = 43 %;  n₁ = 500 dan  n₂ = 700 serta z _0,475 = 1,96

        =     =  0,0284

Sehingga diperoleh:

      0,65 – 0,57 – (1,96) (0,0284)  <  p₁ - p₂  <   0,65 – 0,57 + (1,96) (0,0284)

atau:                                         0,024   <  p₁ - p₂  <   0,136

Jadi 95 % yakin bahwa perbedaan persentase pemudi dan pemuda yang mengunjungi pameran dan menyenanginya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,4 % dan 13,6 %

2.6. Menentukan Sample

Berapa ukuran sampel yang diperlukan untuk melakukan suatu penelitian? Khusus untuk teori estimasi (menaksir), ukuran sampel dapat ditentukan antara lain berdasarkan kepada:

a.       Apa yang ditaksir

b.      Berapa besar perbedaan yang masih mau diterima antara yang ditaksir dan penaksir?

c.       Berapa derajat kepercayaan atau koefisien kepercayaan yang diinginkan dalam melakukan penaksiran?

d.      Berapa lebar interval kepercayaan yang mau diterima?

Ketika menaksir parameter q oleh , perbedaan antara q dan  ialah b =½q - ½. Makin kecil beda b makin baik penaksiran. Ketika menaksir rata-rata m oleh statistik , maka beda b = ½m - ½. Untuk koefisien kepercayaan g dan populasi berdistribusi normal dengan simpangan baku s diketahui, maka ukuran sampel n ditentukan oleh:

     n  > 

Contoh 1:

Untuk menaksir rata-rata waktu yang diperlukan oleh setiap mahasiswa dalam menyelesaikan sebuah soal tertentu, diperlukan sebuah sampel. Ketika menaksir rata-rata tersebut, dikehendaki derajat kepercayaan 99 % dengan beda yang lebih kecil dari 0,05 menit. Jika diketahui simpangan baku waktu yang diperlukan = 0,5 menit, berapa mahasiswa yang perlu diambil untuk sampel tersebut?

Dengan s = 0,5 menit,  b = 0,05 menit  dan  z_0,495 = 2,58 maka didapat:

     n  >    =  665,64

Jadi paling sedikit diperlukan 666 orang mahasiswa untuk dijadikan sampel

Jika yang ditaksir itu proporsi p oleh statistik p = x/n, maka beda yang terjadi besarnya b = ½p - p½. Ukuran sampel dapat ditentukan dengan :

     n   >   p (1 - p)

Karena varians jarang diketahui, maka nilai p (1 - p) = 0,25

Contoh 2 :

Jika untuk contoh diatas, dari pengalaman diketahui ada 12% anak bercita-cita ingin menjadi guru, tentukan berapa ukuran sampel skarang?

Penyelesaian :
Ke dalam rumus di atas kita subtitusikan π = 0,12 dan (1 – π) = 0,88, b = 0,02 dari z = 1,96. Didapat hasil ;

n > (0,12) (0,88) (1,96/0,02)^2= 1.014, 18

Paling sedikit sampel iu terdiri dari 1.015 anak

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Estimasi merupakan kegiatan penarikan kesimpulan statistik yang berawal dari hal-hal yang bersifat umum ke hal – hal yang bersifat khusus, agar penarikan kesimpulan dapat dibenarkan dan mampu mendekati kebenaran maka dibutuhkan suatu alat untuk memproses data secara benar, jika kegiatan estimasi dapat dilakukan secara benar maka semua keputusan yang berkaitan dengan estimasi dapat dilakukan juga dengan benar dan dapat untuk mengatasi segala persoalan statistik.

3.2.Saran

Semoga dengan pembuatan makalah ini dapat dipergunakan di kehidupan sehari-hari sebagai acuan dalam pembelajaran statistik.